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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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2. Calcular aplicando el método de sustitución.
a) ∫xx2+1dx\int \frac{x}{x^{2}+1} dx

Respuesta

Recordá ver los videos de sustitución para entender los ejercicios.


Usamos la sustitución u=x2+1u = x^2 + 1. Entonces, du=2x dxdu = 2x \, dx, y dx=du2xdx = \frac{du}{2x}.


Sustituimos x2+1x^2 + 1 por uu y dxdx por du2x\frac{du}{2x}:


∫xx2+1 dx=∫xu⋅du2x=∫12u du \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{x}{u} \cdot \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{2u} \, du ∫12u du=12∫1u du=12ln⁡∣u∣+C \int \frac{1}{2u} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C
Sustituimos uu por x2+1x^2 + 1:
12ln⁡∣x2+1∣+C \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C
Por lo tanto, la solución es:
∫xx2+1 dx=12ln⁡∣x2+1∣+C \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 1| + C
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